暗号化されたパスワードはデータベースに保存されますが、どうやら間違っていますか？

チュートリアルで暗号化するためにmd5を使用したチュートリアルを使用して、単純なログインを作成しました。md5の代わりにpassword_hashを使用しました。

$password = password_hash("$password_1", PASSWORD_DEFAULT);

暗号化されたパスワードが機能し、データベースに保存されますが、暗号化されていないパスワードでログインしようとすると、「ユーザー名またはパスワードを入力してください」というメッセージが表示されます。使用しているコードは次のとおりです。サーバー情報を削除しただけです。

<?php
session_start();

// initializing variables
$username = "";
$email    = "";
$errors = array(); 

// REGISTER USER
if (isset($_POST['reg_user'])) {
// receive all input values from the form
$username = mysqli_real_escape_string($db, $_POST['username']);
$email = mysqli_real_escape_string($db, $_POST['email']);
$password_1 = mysqli_real_escape_string($db, $_POST['password_1']);
$password_2 = mysqli_real_escape_string($db, $_POST['password_2']);

// form validation: ensure that the form is correctly filled ...
// by adding (array_push()) corresponding error unto $errors array
if (empty($username)) { array_push($errors, "Username is required"); }
if (empty($email)) { array_push($errors, "Email is required"); }
if (empty($password_1)) { array_push($errors, "Password is required"); }
if ($password_1 != $password_2) {
array_push($errors, "The two passwords do not match");
}

// first check the database to make sure 
// a user does not already exist with the same username and/or email
$user_check_query = "SELECT * FROM users WHERE username='$username' OR 
email='$email' LIMIT 1";
$result = mysqli_query($db, $user_check_query);
$user = mysqli_fetch_assoc($result);

if ($user) { // if user exists
if ($user['username'] === $username) {
  array_push($errors, "Username already exists");
}

if ($user['email'] === $email) {
  array_push($errors, "email already exists");
}
}

// Finally, register user if there are no errors in the form
if (count($errors) == 0) {
$password = password_hash("$password_1", PASSWORD_DEFAULT);//encrypt the 
password before saving in the database
$query = "INSERT INTO users (username, email, password) 
          VALUES('$username', '$email', '$password')";
mysqli_query($db, $query);
$_SESSION['username'] = $username;
$_SESSION['success'] = "You are now logged in";
header('location: testlogin.php');
 }
}

// ... 

// LOGIN USER
if (isset($_POST['login_user'])) {
$username = mysqli_real_escape_string($db, $_POST['username']);
$password = mysqli_real_escape_string($db, $_POST['password']);

if (empty($username)) {
    array_push($errors, "Username is required");
}
if (empty($password)) {
    array_push($errors, "Password is required");
}

if (count($errors) == 0) {
    $password = password_hash("$password", PASSWORD_DEFAULT);
    $query = "SELECT * FROM users WHERE username='$username' AND 
 password='$password'";
    $results = mysqli_query($db, $query);
    if (mysqli_num_rows($results) == 1) {
      $_SESSION['username'] = $username;
      $_SESSION['success'] = "You are now logged in";
      header('location: testlogin.php');
    }else {
        array_push($errors, "Wrong username/password combination");
    }
  }
 }

?>

password_hashを機能させるために含める必要があるものはありますか？