アプリが実行されていないときでもアラートを表示する

はい、これはプッシュキットのサイレント通知で可能です。

プッシュキットのペイロードを受け取ったら、ローカル通知をスケジュールする必要があります。

ライドリクエストの承認/拒否を使用してローカル通知をインタラクティブにし、API呼び出し、SQLiteなどのタップイベントで適切な処理を行うことができます。

以下のコードを参照してください。私はこれをVOIP通話機能に従ってドラフトしました、あなたはあなたの要件に従ってドラフトすることができます。

func pushRegistry(registry: PKPushRegistry!, didReceiveIncomingPushWithPayload payload: PKPushPayload!, forType type: String!) {
        // Process the received push

        var arrTemp = [NSObject : AnyObject]()
        arrTemp = payload.dictionaryPayload

        let dict : Dictionary <String, AnyObject> = arrTemp["aps"] as! Dictionary<String, AnyObject>


        if "IfUserHasLoggedInWithApp" // Check this flag then only proceed
        {                

            if UIApplication.sharedApplication().applicationState == UIApplicationState.Background || UIApplication.sharedApplication().applicationState == UIApplicationState.Inactive
            {

                if "CheckForIncomingCall" // Check this flag to know incoming call or something else
                {

                    var strTitle : String = dict["alertTitle"] as? String ?? ""
                    let strBody : String = dict["alertBody"] as? String ?? ""
                    strTitle = strTitle + "\n" + strBody

                    let notificationIncomingCall = UILocalNotification()

                    notificationIncomingCall.fireDate = NSDate(timeIntervalSinceNow: 1)
                    notificationIncomingCall.alertBody =  strTitle
                    notificationIncomingCall.alertAction = "Open"
                    notificationIncomingCall.soundName = "SoundFile.mp3"
                    notificationIncomingCall.category = dict["category"] as? String ?? ""

                    notificationIncomingCall.userInfo = "As per payload you receive"

                    UIApplication.sharedApplication().scheduleLocalNotification(notificationIncomingCall)

                    }
                    else
                    {
                        //  something else
                    }

        }
    }

}

プッシュキットの統合とペイロードについて詳しくは、こちらをご覧ください。

https://github.com/hasyapanchasara/PushKit_SilentPushNotification