sympy如何计算pi？

mpmath使用Chudnovsky公式（https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm）计算pi 。

Pi由一个无限级数近似，其项数减少了（1/151931373056000）^ n，因此每个项大约增加了14.18个数字。这使得容易选择多个项N，从而实现期望的精度。

实际计算是通过整数算术完成的：即，对于prec位的精度，将计算pi * 2 ^（prec）的近似值。

这是从mpmath / libmp / libelefun.py（https://github.com/fredrik-johansson/mpmath/blob/master/mpmath/libmp/libelefun.py）中提取的代码：

# Constants in Chudnovsky's series
CHUD_A = MPZ(13591409)
CHUD_B = MPZ(545140134)
CHUD_C = MPZ(640320)
CHUD_D = MPZ(12)

def bs_chudnovsky(a, b, level, verbose):
    """
    Computes the sum from a to b of the series in the Chudnovsky
    formula. Returns g, p, q where p/q is the sum as an exact
    fraction and g is a temporary value used to save work
    for recursive calls.
    """
    if b-a == 1:
        g = MPZ((6*b-5)*(2*b-1)*(6*b-1))
        p = b**3 * CHUD_C**3 // 24
        q = (-1)**b * g * (CHUD_A+CHUD_B*b)
    else:
        if verbose and level < 4:
            print("  binary splitting", a, b)
        mid = (a+b)//2
        g1, p1, q1 = bs_chudnovsky(a, mid, level+1, verbose)
        g2, p2, q2 = bs_chudnovsky(mid, b, level+1, verbose)
        p = p1*p2
        g = g1*g2
        q = q1*p2 + q2*g1
    return g, p, q

@constant_memo
def pi_fixed(prec, verbose=False, verbose_base=None):
    """
    Compute floor(pi * 2**prec) as a big integer.
    This is done using Chudnovsky's series (see comments in
    libelefun.py for details).
    """
    # The Chudnovsky series gives 14.18 digits per term
    N = int(prec/3.3219280948/14.181647462 + 2)
    if verbose:
        print("binary splitting with N =", N)
    g, p, q = bs_chudnovsky(0, N, 0, verbose)
    sqrtC = isqrt_fast(CHUD_C<<(2*prec))
    v = p*CHUD_C*sqrtC//((q+CHUD_A*p)*CHUD_D)
    return v

这只是普通的Python代码，只不过它依赖于一个额外的函数isqrt_fast()来计算大整数的平方根。MPZ是使用的大整数类型：gmpy.fmpz（如果可用），否则为Python的内置long类型。所述@constant_memo装饰缓存计算值（通常反复需要数值计算PI，因此是有意义的存储它）。

您可以看到它通过如下进行基数转换来计算pi：

>>> pi_fixed(53) * 10**16 // 2**53
mpz(31415926535897932)

快速建立Chudnovsky公式的关键技巧称为二进制拆分。无限级数中的项满足小系数的递归关系（可以在bs_chudnovsky函数中ba == 1的情况下看到递归方程）。而不是顺序计算项，而是将总和重复分成两半。对这两个半部分进行递归评估，然后将结果合并。最后，一个人有两个大整数p和q，使得该系列的前N个项的总和恰好等于p / q。注意，在二进制分割过程中没有舍入误差，这是该算法的一个很好的特性。只有在计算平方根并在最后进行除法时，才会进行四舍五入。

尽管有一些复杂的技巧可以进一步加快处理速度，但大多数以高精确度计算pi的快速程序都使用了非常相似的策略。

（注意：我是代码的作者。）