我最近一直在从事一个项目，其中大部分时间都花在乘以一个密集矩阵A和一个稀疏向量上v（请参见此处）。在减少计算量的尝试中，我注意到的运行时间A.dot(v)不受的零项数量影响v。
为了解释为什么在这种情况下我希望运行时有所改善，让result = A.dot.vso result[j] = sum_i(A[i,j]*v[j]) for j = 1...v.shape[0]。如果那样的v[j] = 0话显然result[j] = 0不管价值A[::,j]。因此，在这种情况下，我希望仅设置numpy，result[j] = 0但似乎仍然可以继续进行计算sum_i(A[i,j]*v[j])。
我继续编写了一个简短的示例脚本，以在下面确认此行为。
import time
import numpy as np
np.__config__.show() #make sure BLAS/LAPACK is being used
np.random.seed(seed = 0)
n_rows, n_cols = 1e5, 1e3
#initialize matrix and vector
A = np.random.rand(n_rows, n_cols)
u = np.random.rand(n_cols)
u = np.require(u, dtype=A.dtype, requirements = ['C'])
#time
start_time = time.time()
A.dot(u)
print "time with %d non-zero entries: %1.5f seconds" % (sum(u==0.0), (time.time() - start_time))
#set all but one entry of u to zero
v = u
set_to_zero = np.random.choice(np.array(range(0, u.shape[0])), size = (u.shape[0]-2), replace=False)
v[set_to_zero] = 0.0
start_time = time.time()
A.dot(v)
print "time with %d non-zero entries: %1.5f seconds" % (sum(v==0.0), (time.time() - start_time))
#what I would really expect it to take
non_zero_index = np.squeeze(v != 0.0)
A_effective = A[::,non_zero_index]
v_effective = v[non_zero_index]
start_time = time.time()
A_effective.dot(v_effective)
print "expected time with %d non-zero entries: %1.5f seconds" % (sum(v==0.0), (time.time() - start_time))
运行此命令，无论使用密集矩阵u还是稀疏矩阵，矩阵向量乘法的运行时间都相同v：
time with 0 non-zero entries: 0.04279 seconds
time with 999 non-zero entries: 0.04050 seconds
expected time with 999 non-zero entries: 0.00466 seconds
我想知道这是否是设计使然？还是我在运行矩阵向量乘法的过程中缺少某些东西。就像进行健全性检查一样：我确保已将numpy其链接到本机上的BLAS库，并且两个阵列均已链接C_CONTIGUOUS（因为numpy调用BLAS显然需要这样做）。
尝试一个简单的函数怎么样？
def dot2(A,v):
ind = np.where(v)[0]
return np.dot(A[:,ind],v[ind])
In [352]: A=np.ones((100,100))
In [360]: timeit v=np.zeros((100,));v[::60]=1;dot2(A,v)
10000 loops, best of 3: 35.4 us per loop
In [362]: timeit v=np.zeros((100,));v[::40]=1;dot2(A,v)
10000 loops, best of 3: 40.1 us per loop
In [364]: timeit v=np.zeros((100,));v[::20]=1;dot2(A,v)
10000 loops, best of 3: 46.5 us per loop
In [365]: timeit v=np.zeros((100,));v[::60]=1;np.dot(A,v)
10000 loops, best of 3: 29.2 us per loop
In [366]: timeit v=np.zeros((100,));v[::20]=1;np.dot(A,v)
10000 loops, best of 3: 28.7 us per loop
完全迭代的Python实现将是：
def dotit(A,v, test=False):
n,m = A.shape
res = np.zeros(n)
if test:
for i in range(n):
for j in range(m):
if v[j]:
res[i] += A[i,j]*v[j]
else:
for i in range(n):
for j in range(m):
res[i] += A[i,j]*v[j]
return res
显然，这不会像编译的那样快dot，但是我希望测试的相对优势仍然适用。为了进一步测试，您可以在中实现它cython。
注意，v[j]测试在迭代的深处进行。
对于稀疏v（100个元素中的3个），测试可以节省时间：
In [374]: timeit dotit(A,v,True)
100 loops, best of 3: 3.81 ms per loop
In [375]: timeit dotit(A,v,False)
10 loops, best of 3: 21.1 ms per loop
但是如果v密集的话会花费时间：
In [376]: timeit dotit(A,np.arange(100),False)
10 loops, best of 3: 22.7 ms per loop
In [377]: timeit dotit(A,np.arange(100),True)
10 loops, best of 3: 25.6 ms per loop
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