我想在MATLAB中实现用于确定矩阵的主导特征值和特征向量的幂方法。
到目前为止，这是我写的内容：
%function to implement power method to compute dominant
%eigenvalue/eigenevctor
function [m,y_final]=power_method(A,x);
m=0;
n=length(x);
y_final=zeros(n,1);
y_final=x;
tol=1e-3;
while(1)
mold=m;
y_final=A*y_final;
m=max(y_final);
y_final=y_final/m;
if (m-mold)<tol
break;
end
end
end
使用上面的代码，这是一个数字示例：
A=[1 1 -2;-1 2 1; 0 1 -1]
A =
1 1 -2
-1 2 1
0 1 -1
>> x=[1 1 1];
>> x=x';
>> [m,y_final]=power_method(A,x);
>> A*x
ans =
0
2
0
与MATLAB中上述矩阵的特征值和特征向量进行比较时，我做到了：
[V,D]=eig(A)
V =
0.3015 -0.8018 0.7071
0.9045 -0.5345 0.0000
0.3015 -0.2673 0.7071
D =
2.0000 0 0
0 1.0000 0
0 0 -1.0000
特征值重合，但特征向量应接近[1/3 1 1/3]。在这里，我得到：
y_final
y_final =
0.5000
1.0000
0.5000
看到这种错误是可以接受的，还是我犯了一些错误？
你有正确的执行，但你不检查都收敛的特征向量和特征值。您只需检查特征值是否收敛。功率方法估计两个突出的特征向量和特征值，所以它可能是一个好主意，检查，看看是否都收敛。当我这样做时，我设法得到了[1/3 1 1/3]。这是我修改您的代码以实现此目的的方式：
function [m,y_final]=power_method(A,x)
m=0;
n=length(x);
y_final=x;
tol=1e-10; %// Change - make tolerance more small to ensure convergence
while(1)
mold = m;
y_old=y_final; %// Change - Save old eigenvector
y_final=A*y_final;
m=max(y_final);
y_final=y_final/m;
if abs(m-mold) < tol && norm(y_final-y_old,2) < tol %// Change - Check for both
break;
end
end
end
当使用您的示例输入运行上述代码时，我得到：
>> [m,y_final]=power_method(A,x)
m =
2
y_final =
0.3333
1.0000
0.3333
关于方面eig，MATLAB最有可能使用另一个范数来缩放特征向量。请记住，特征向量不是唯一的，并且在按比例缩放时都是准确的。如果您想确定的话，只需取V与优势特征向量重合的的第一列，然后除以最大值，这样我们就可以将一个分量用值1进行归一化，就像幂方法：
>> [V,D] = eig(A);
>> V(:,1) / max(abs(V(:,1)))
ans =
0.3333
1.0000
0.3333
这与您所观察到的一致。
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