我使用前向和后向fft在matlab中实现了一个简单的低通滤波器。原则上可以使用,但是最小值和最大值与原始值不同。
signal = data;
%% fourier spectrum
% number of elements in fft
NFFT = 1024;
% fft of data
Y = fft(signal,NFFT)/L;
% plot(freq_spectrum)
%% apply filter
fullw = zeros(1, numel(Y));
fullw( 1 : 20 ) = 1;
filteredData = Y.*fullw;
%% invers fft
iY = ifft(filteredData,NFFT);
% amplitude is in abs part
fY = abs(iY);
% use only the length of the original data
fY = fY(1:numel(signal));
filteredSignal = fY * NFFT; % correct maximum
clf; hold on;
plot(signal, 'g-')
plot(filteredSignal ,'b-')
hold off;
生成的图像看起来像这样
我究竟做错了什么?如果我将两个数据都归一化,则滤波后的信号看起来正确。
只是提醒自己,MATLAB如何存储以下频率信息Y = fft(y,N)
:
Y(1)
是常数偏移量Y(2:N/2 + 1)
是一组正频率Y(N/2 + 2:end)
是负频率的集合...(通常我们将在垂直轴的左侧绘制)为了制作一个真正的低通滤波器,我们必须同时保留低正频率和低负频率。
这是一个使用频域中的乘法矩形滤波器执行此操作的示例,就像您所做的那样:
% make our noisy function
t = linspace(1,10,1024);
x = -(t-5).^2 + 2;
y = awgn(x,0.5);
Y = fft(y,1024);
r = 20; % range of frequencies we want to preserve
rectangle = zeros(size(Y));
rectangle(1:r+1) = 1; % preserve low +ve frequencies
y_half = ifft(Y.*rectangle,1024); % +ve low-pass filtered signal
rectangle(end-r+1:end) = 1; % preserve low -ve frequencies
y_rect = ifft(Y.*rectangle,1024); % full low-pass filtered signal
hold on;
plot(t,y,'g--'); plot(t,x,'k','LineWidth',2); plot(t,y_half,'b','LineWidth',2); plot(t,y_rect,'r','LineWidth',2);
legend('noisy signal','true signal','+ve low-pass','full low-pass','Location','southwest')
完整的低通拟合器做得更好,但是您会注意到重建有点“波浪”。这是因为在频域中使用矩形函数的乘法与在时域中使用sinc函数的卷积相同。具有正弦函数的卷积将每个点替换为其邻居的加权平均值非常不均匀,因此产生“波动”效应。
高斯滤波器具有更好的低通滤波器特性,因为高斯的傅立叶变换是高斯。高斯很好地衰减到零,因此在卷积期间加权平均值中不包括遥远的邻居。这是一个使用高斯滤波器保留正负频率的示例:
gauss = zeros(size(Y));
sigma = 8; % just a guess for a range of ~20
gauss(1:r+1) = exp(-(1:r+1).^ 2 / (2 * sigma ^ 2)); % +ve frequencies
gauss(end-r+1:end) = fliplr(gauss(2:r+1)); % -ve frequencies
y_gauss = ifft(Y.*gauss,1024);
hold on;
plot(t,x,'k','LineWidth',2); plot(t,y_rect,'r','LineWidth',2); plot(t,y_gauss,'c','LineWidth',2);
legend('true signal','full low-pass','gaussian','Location','southwest')
如您所见,这种方式的重建要好得多。
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