假设我们想将p(1, 2, 3, w=1)带有向量v(a, b, c, w=0)的点转换为新点p'
注意：在OpenGL中w=0代表一个矢量并w=1代表一个点，如果我错了，请纠正我。
在仿射变换定义中，我们具有：
p + v = p'
=> p(1, 2, 3, 1) + v(a, b, c, 0) = p(1 + a, 2 + b, 3 + c, 1)
=> point + vector = point (everything works as expected)
在OpenGL中，转换矩阵如下：
1 0 0 a
0 1 0 b
0 0 1 c
0 0 0 1
我以为(a, b, c, 1)是仿射变换定义矢量为什么我们有w=1，但不是w=0如
1 0 0 a
0 1 0 b
0 0 1 c
0 0 0 0
注意：在OpenGL中
w=0代表一个矢量并w=1代表一个点，如果我错了，请纠正我。
你错了。首先，这与OpenGL无关。这是关于同构坐标，这是一个纯粹的数学概念。它通过将n维向量空间嵌入到n + 1维向量空间中来工作。在3D情况下，我们使用4D均匀坐标，其定义是，均匀矢量(x, y, z, w)代表(x/w, y/w, z/w)笛卡尔坐标中的3D点。
结果，对于任何一个w != 0，您都会得到一个确定的点，并且，对于一个特定的方向w = 0，您将描述一个无限远的点。这意味着，就它们实际上可以用有限坐标描述无限远点而言，同构坐标更为强大（这对于透视变换非常有用，其中将无限远点映射到有限点，反之亦然） ）。
您可以将其想象(x,y,z,0)为某个方向向量。但是对于一个点，它不只是w=1，而是任何 w不等于0的值。从概念上讲，这意味着任何笛卡尔3D点都由均匀空间中的一条线表示（我们确实沿一维方向移动，所以这实际上是有道理的）。
我假设（a，b，c，1）是来自仿射变换定义的向量，为什么我们有w = 1，但没有w = 0？
您的假设是错误的。关于均匀坐标的一件事是，我们不在4D空间中应用平移。通过在4D空间中实际执行剪切操作，我们可以在3D空间中获得平移的效果。
所以我们真正想要在同质空间中做的是
(x + w *a, y + w*b, z+ w*c, w)
因为生成的矢量的3D解释将是
(x + w*a) / w == x/w + a
(y + w*b) / w == y/w + b
(z + w*c) / w == z/w + c
这将代表我们所追求的翻译。
因此，为了使这一点更加清晰：
您在问题中写了什么：
p(1, 2, 3, 1) + v(a, b, c, 0) = p(1 + a, 2 + b, 3 + c, 1)
显然不是我们想要做的。您所描述的是关于4D向量空间的仿射翻译。
但是我们真正想要的是3D笛卡尔坐标中的平移
(1, 2, 3) + (a, b, c) = (1 + a, 2 + b, 3 + c)
应用您的公式实际上意味着在同质空间中进行平移，这将产生按w坐标缩放的平移效果，而(a,b,c)无论w我们为该点选择什么，我给出的公式都将始终将该点平移。
如果我们选择的话，这当然是不正确的w=0。然后，我们将不会有任何改变，这也是正确的，因为翻译永远不会改变方向-您的公式会改变方向。您的公式仅对正确w=1，这只是一种特殊情况。但是这里的关键是我们毕竟不是在进行向量加法运算，而是在矩阵*向量相乘。同质坐标只允许我们（除其他功能更强大的东西外）通过矩阵乘法表示平移。但这并不意味着我们可以将最后一列解释为翻译向量，就好像我们进行了向量加法一样。
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