假设我有两个名为的函数f :: a -> b，它的反函数g :: b -> a是that f . g ≡ id。
现在不是g . f ≡ id吗？（因此暗示同构）
我试图写一个类似的例子，并提出了这样的建议：
myRead :: String -> Int
myRead = read
myShow :: Int -> String
myShow = show
在ghci中：
λ> myRead . myShow $ 3
3
λ> myShow . myRead $ "33"
"33"
但似乎反函数并不意味着同构。那么有人可以指出我在这里做错了什么吗？
这是一个非常简单的例子。如果A是集合{1,2}和B集合，{1}则函数：
f :: A -> B
f = const 1
g :: B -> A
g 1 = 1
有关系f . g = id但没有关系g . f = id。一个反例是
g (f 2) = 1
事实证明，这样，如果你有两个函数f . g = id和g . f = id，然后，说了一大堆关于域和值域的那些功能。特别是，它建立了一个同构，表明这两个域在某种意义上是等效的。
从类别理论的角度来看，这意味着它们通过类别的态射是无法区分的。类别理论强调类别的词素是获取有关对象信息的唯一方法，因此，这种不可区分性非常重要。
当您只有单方面的逆时，您仍然会学到很多关于这两个域的信息……但并不是说它们是同构的。
单面逆向给你的一件事是幂等的。幂等是i从域到自身的函数（内同形），使得i . i = i。给定任意两个函数，其中f . g = id，g . f是幂等的，证明是显而易见的：
i . i = (g . f) . (g . f) = g . f . g . f = g . (f . g) . f = g . f = i
要考虑的另一件好事是，每个函数都会f :: A -> B产生“反像”函数inv f :: B -> (A -> Bool)。
inv :: Eq b => (a -> b) -> b -> a -> Bool
inv f b a = f a == b
用更数学的术语来说，逆像函数是从共域B到域A子集的A映射，使得每个这样的映射子集中的每个元素都映射到的相同元素B。这些子集分区A（这是函数的定义）。
如果我们有另一个功能g :: B -> A，使得g b在子集inv f b（即inv f b (g b) == True所有b），那么我们有
f . g == id
但这远弱，比更多的技术A和B公正是同构的。这只是意味着g将的元素发送B到，A这些元素的子集f将立即发送回去。
例如，它接受了空间“纤维化”的整个有趣概念。
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