一个8位数（加十进制）的计算器可以进行多少次运算？

对于此答案的第一部分，我们想知道计算器屏幕上可以显示多少个数字。

从一个简化的示例开始，然后从那里开始。让我们从一个1位数的显示开始。使用此计算器，您可以显示0到9之间的数字，并且可以在数字之前（使其成为小数）或在数字之后（使其成为整数）用小数点显示每个数字。可以制作多少个唯一数字？

.0，.1，.2，.3，.4，.5，.6，.7，.8，.9， 0。，1.，2.，3.，4.，5.，6.，7.，8.，9。

那有20个可能性，其中1个重复数使19个唯一数。让我们再次找到该结果，但是使用数学方法，我们可以按比例放大到更多位数。

首先找到所有可以进行的数字0 <= n <1。为了使数字适合该范围，小数点必须在第一个数字之前。我们仍在处理1位数字，因此有10种¹种不同方式用大于或等于0但小于1的数字填充计算器。

接下来，找到所有可以进行的数字1 <= n <10。为此，您将小数点向右移动一位，因此现在它在第一位数字之后，并且您也不允许第一位数字为零（否则数字将小于1）。剩下9个唯一的数字。

[0 <= n <1] + [1 <= n <10] = 10 + 9 = 19

现在我们有了一个可扩展的系统。让我们用2位数字完成此操作，以便在转到8位数字之前了解它如何与多位数字一起使用。用2位数字表示0-99，小数点可以在三个不同的地方，这意味着我们要检查三个范围：0 <= n <1、1 <= n <10、10 <= n < 100 第一个集合的第一位可以为零，因为该集合中为零，但是每个其他集合的第一位不能为零，否则该数字将位于其下的集合中。因此，第一个集合有10 ^2个可能性，而其他每个集合都有9 * 10 ^1个可能性。我们可以这样概括一下：对于我们的计算器可以容纳的任何d位数字，集合0 <= n <1将有10 ^d种可能性，^d-1种可能性

因此对于2位数：

[0 <= n <1] + [1 <= n <10] + [10 <= n <100] = 100 + 90 + 90 = 280

现在您可以看到一种模式在出现，可以将其概括化，以便为我们提供可以在带有d位数字的计算器上显示的唯一数字的总数：

唯一的可显示数字= 10 ^d + d * 9 * 10 ^d-1

您可以使用简单的Python脚本来确认该数学运算，该脚本手动查找所有可以显示的唯一数字，打印找到的数量，然后还打印上面公式的结果。当位数更多时，它会陷入困境，但数字1到5应该足以显示公式有效。

for digits in range(1, 6):
    print('---%d Digits----' % digits)
    numbers = set()
    for d in range(digits + 1):
        numbers.update(i / 10**d for i in range(10**digits))
    print(len(set(numbers)))
    print(10**digits + digits * 9 * 10**(digits - 1))

结果：

--- 1个位数----
19
19
--- 2个位数----
280
280
--- 3个位数----
3700
3700
--- 4个位数----
46000
46000
--- 5 Digits- ---
550000
550000

这意味着带8位数字的计算器可以显示820,000,000个唯一数字。

对于此答案的第二部分，我们想知道是否必须在任何两个2对数之间进行所有4个基本运算，即上述计算的多少个？

我们可以在8.2亿个唯一数字之间形成几对数字？8.2亿平方。那就是672,400,000,000,000,000 = 672.4万亿。在这些数字对上可以使用四个不同的运算，因此将其乘以4，您可以在一个简单的8位计算器上得到2,689,600,000,000,000,000 = 2.6896十亿五千万个不同的可能运算。

编辑：

如果原始问题的目的是不允许小数点出现在第一个数字之前（小数点0 <= n <1必须以0开头），则可显示数字的公式将变为10 ^d + （d-1）* 9 * 10 ^d-1，这表示唯一可显示数字的数量为7.3亿，而操作总数为2.1316亿五千万。