两组之间的同构性合适吗？这是我对组和同态的定义：
Definition associative {ty : Type} (f : ty -> ty -> ty) (eq : ty -> ty -> Prop) :=
forall a b c, eq (f (f a b) c) (f a (f b c)).
Definition identity {ty : Type} (f : ty -> ty -> ty) (eq : ty -> ty -> Prop) (e : ty) :=
forall a, eq (f a e) a /\ eq (f e a) a.
Definition op_inverse {ty : Type} (f : ty -> ty -> ty) (eq : ty -> ty -> Prop) (e a a' : ty) :=
eq (f a a') e /\ eq (f a' a) e.
Definition op_invertible {ty : Type} (f : ty -> ty -> ty) (eq : ty -> ty -> Prop) (e : ty) :=
forall a, exists a', op_inverse f eq e a a'.
Record Group : Type := Group'
{ ty :> Type
; op : ty -> ty -> ty
; eqr : ty -> ty -> Prop
; e : ty
; eq_rel :> Equivalence eqr
; prop_op :> Proper (eqr ==> eqr ==> eqr) op
; assoc_op : associative op eqr
; id_op : identity op eqr e
; inv_op : op_invertible op eqr e
}.
Notation "A <.> B" := ((op _) A B) (at level 50).
Notation "A =.= B" := ((eqr _) A B) (at level 50).
Definition homomorphism {G H : Group} (f : G -> H) :=
forall x y, f (x <.> y) =.= (f x <.> f y).
我想证明：
Lemma homo_is_proper : forall {G H : Group} (f : ty G -> ty H),
homomorphism f -> Proper (eqr G ==> eqr H) f.
这一定是真的吗？
这不是真的。
设H一个非平凡的组（例如Z/2Z），定义G为H总关系下的商eqr := fun _ _ => True（G因此对平凡的组同构），并且f : ty G -> ty H是恒等函数。f满足，homomorphism但这是不合适的。
通常，为了反映常见的数学实践，当使用类固醇时，正确性是一个基本事实，必须从首要原则中加以证明，而理论的其余部分也要基于此。可以说，homo_is_proper这不是一个自然的问题，因为所有定理和属性（例如homomorphism）实际上仅应首先通过适当的函数进行参数化。
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